Условие
Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их
продолжения) пересекаются в одной точке.Докажите, что ортоцентрическом
тетраэдре общие перпендикуляры каждой пары противоположных рёбер
пересекаются в одной точке.
Решение
Докажем сначала, что если высоты
BB1
и
CC1
тетраэдра
ABCD
пересекаются, то точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре
скрещивающихся прямых
AD и
BC . Для этого проведём плоскость через
прямые
BB1
и
CC1
, пересекающиеся в точке
H . Пусть эта плоскость
пересекает прямую
AD в точке
M . Так как
BB1
и
CC1
– высоты
треугольника
BMC , а высоты треугольника пересекаются в одной точке,
то
MH 
BC . В то же время, прямая
AD перпендикулярна плоскости
BMC ,
т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым
BB1
и
CC1
этой
плоскости. Поэтому
AD MH . Значит, общий перпендикуляр
скрещивающихся прямых
BC и
AD лежит на прямой
MH . Что и требовалось
доказать.
Поскольку все высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются
в одной точке, то по доказанному, точка их пересечения принадлежит
общему перпендикуляру каждой пары скрещивающихся рёбер.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7809 |
