Задача 87350

Темы:    [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки H и F – середины рёбер MN и NP соответственно, точка E лежит на отрезке SH , причём SH = 3 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки C и D лежат на прямой EF , а прямая AB касается сферы в одной из точек отрезка AB . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

Решение

Пусть K – середина FH (рис.1), G – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на прямую FE , L – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на FH , FT – высота треугольника SFH . Положим HF = 2x . Поскольку пирамида SMNPQ правильная, SF = SH = 3 . Поэтому

SK = = , FT = = ,

EL = SK· = · = ,

HL = KH = , FL = FH - HL = ,

FE = = = = ,
а т.к. FE· SG = SE· FT (удвоенная площадь треугольника SEF ), имеем уравнение
· = · .
После очевидных преобразований получим уравнение
36x4 - 84x2 + 45 = 0,
откуда x = или x = . Пусть SO – высота пирамиды SMNPQ . Обозначим через a сторону квадрата MNPQ . Тогда
2x = FH = MP = , a = 2x,

SO = = = .
Если x = , то
a = 2, S_MNPQ = a2 = 12, SO = .
Следовательно,
V_SMNPQ = S_MNPQ· SO = · 12· = 4.
Если x = , то
a = , S_MNPQ = a2 = , SO = .
Следовательно,
V_SMNPQ = S_MNPQ· SO = · · = .
Пусть вершины C и D правильного тетраэдра ABCD лежат на прямой EF (рис.2), а вершины A и B – на прямой, касающейся данной сферы в точке X , лежащей на отрезке AB . Так как противоположные рёбра правильного тетраэдра перпендикулярны, то CD AB . Через прямую AB проведём плоскость, перпендикулярную прямой EF (рис.3). Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r 1 с центром S1 , а прямую EF – в некоторой точке Y . Пусть b – ребро тетраэдра ABCD . Тогда расстояние между прямыми CD и AB равно . Это расстояние равно длине перпендикуляра YZ , опущенного из точки Y на прямую AB . Обозначим YZ = t , YS1X = α . Опустим перпендикуляр YU из точки Y на прямую S1X . Из прямоугольного треугольника S1YU находим, что
r + t = S1X + XU = S1U = S1Y cos α = cos α,
откуда t = cos α - r . Поскольку при увеличении угла косинус убывает, наименьшее значение величина t принимает при наибольшем возможном α . Значит, перпендикуляр YZ наименьший, если точка X совпадает с точкой A или с точкой B . В этом случае будет наименьшим и ребро тетраэдра ABCD при данном r 1 . Пусть прямая AB касается окружности с центром S1 в точке A (рис.4). Опустим перпендикуляр YV из точки Y на прямую S1A . В прямоугольном треугольнике S1VY известно, что
S1Y = , YV = AZ = , S1V = S1A + AV = S1A + YZ = r + .
По теореме Пифагора
S1V2 + YV2 = S1Y2, или (r+)2 + = 5.
После очевидных преобразований получим квадратное уравнение
3b2 + 4br + 4r2 - 20 = 0.
Так как r 1 , это уравнение имеет единственный положительный корень
b = ( - ).
Полученное выражение принимает наименьшее значение при наибольшем возможном r , т.е. при r = 1 . В этом случае
b = ( - ) = ( - 1).

Ответ

V = 4 или V = ; a_min = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7823