Задача 87356

Темы:    [ Куб ] [ Расстояние от точки до плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через точку D и середины рёбер A1D1 и C1D1 . Найдите расстояние от середины ребра AA1 до плоскости P , если ребро куба равно 2.

Решение

Пусть M , N , K и L – середины рёбер A1D1 , C1D1 , AA1 и CC1 соответственно (рис.1). Прямая KL параллельна прямой MN , поэтому прямая KL параллельна плоскости P . Кроме того, прямая KL проходит через центр O куба ABCDA1B1C1D1 . Значит, расстояние от середины K ребра AA1 до плоскости P равно расстоянию от точки O до этой плоскости. Пусть E – точка пересечения отрезков MN и B1D1 , F – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую DE . Так как прямая MN перпендикулярна плоскости BB1D1D , то MN OF . Значит, OF – перпендикуляр к плоскости P . Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка OF . Рассмотрим сечение данного куба плоскостью BB1D1D (рис.2). Пусть прямая, проходящая через середину O диагонали BD1 параллельно BD , пересекает отрезок DE в точке Q , а отрезок DD1 – в точке S . Тогда OS – средняя линия треугольника BD1D , а QS – средняя линия треугольника EDD1 . Поэтому

OQ = OS - QS = BD - ED1 = (BD - ED1) = (2 - ) = .
Обозначим FOQ = α . Тогда
EDD1 = FOQ = α, cos α = = = = .
Следовательно,
OF = OQ cos α = · = 1.


Выберем прямоугольную систему координат D1xyz , взяв за начало точку D1 и направив оси координат по лучам D1A1 , D1C1 и D1D соответственно. Уравнение плоскости P будет иметь вид
+ + = 1
(уравнение плоскости в отрезках), или 2x + 2y + z - 2 = 0 . Расстояние от точки K(2;0;1 ) до этой плоскости равно
= = 1.

Ответ

1.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7829