Информация о задаче

Задача 87363

Тема:

[

Касательные к сферам

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Сфера касается прямых AB и AD в точке A, и прямых BC и CD в точке C. Найдите площадь сферы, если известно, что AB = 1, BD = 2, $\angle$ ABC = = $\angle$ BAD = 90^o.

Подсказка

Проведите плоскость через точки A, C и центр сферы.

Решение

Пусть O - центр сферы, r - ее радиус. Рассмотрим тетраэдр ABCD. Поскольку сфера касается его ребер AB и AD в точке A, прямая OA перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AD плоскости грани ABD, поэтому прямая OA перпендикулярна этой плоскости. Значит, сфера касается плоскости грани ABD в точке A. Аналогично докажем, что сфера касается плоскости грани BCD в точке C. Следовательно, сфере вписана в двугранный угол, образованный плоскостями граней ABD и ABC.

Пусть плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые OA и OC, пересекает ребро BD указанного двугранного угла в точке K. Так как OA - перпендикуляр к плоскости грани ABD, а OC - перпендикуляр к плоскости грани BCD, то прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и OC плоскости AKC. Значит, BD $\perp$ AK и BD $\perp$ CK, т.е. AK и CK - высоты треугольников ABD и CBD.

В прямоугольном треугольнике ABD известно, что BD = 2 и AB = 1, причем BD - гипотенуза, поэтому

$\displaystyle \angle$ ADB = 30^o, AD = $\displaystyle \sqrt{3}$ , AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD = $\displaystyle \sqrt{3}$ /2.

По теореме о равенстве отрезков касательных, проведенных к сфере из одной точки, BC = BA = 1, KC = KA = $\sqrt{3}$ /2. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса r окружности, касающейся боковых сторон KA и KC равнобедренного треугольника AKB соответственно в точках A и B, причем

KA = KC = $\displaystyle \sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{1 + 1}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Пусть KM - высота треугольника AKC. Тогда

AM = CM = $\sqrt{AK ^{2}- AM^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{3}/2)^{2} - (\sqrt{2}/2)^{2}}$ = 1/2. Обозначим $\angle$ OKC = $\alpha$ . Из пряиоугольных треугольников AKM и AKO находим, что

r = AO = AK^.tg $\displaystyle \alpha$ = AK^.AM/KM = ( $\displaystyle \sqrt{3}$ /2)^.( $\displaystyle \sqrt{2}$ /2)/(1/2) = $\displaystyle \sqrt{6}$ /2.

Следовательно, площадь поверхности сферы равна 4 $\pi$ r² = 6 $\pi$ .

Ответ

6 $\displaystyle \pi$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7836