Информация о задаче

Задача 87364

Тема:

[

Геометрия (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сфера радиуса $\sqrt{5}$ с центром в точке O касается всех сторон треугольника ABC. Точка касания N делит сторону AB пополам. Точка касания M делит сторону AC так, что AM = ${\frac{1}{2}}$ MC. Найдите объем пирамиды OABC, если известно, что AN = NB = 1.

Подсказка

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, деленной на его полупериметр.

Решение

Пусть данная сфера касается стороны BC треугольника ABC в точке K. Тогда

BK = BN = 1, AM = AN = 1, CM = 2^.AM = 2, CK = CM = 2.

Сечение сферы плоскостью треугольника ABC есть окружность, впмсанная в треугольник ABC, причем центр O₁ этой окружности - ортогональная проекция центра O сферы на плоскость треугольника ABC. Значит, OO₁ - высота пирамиды OABC.

Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, p - ролупериметр треугольника, s - площадь. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, отрезкок CN - его высота. Тогда

CN = $\displaystyle \sqrt{AC^{2} - AN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9 - 1}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

s = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CN = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ , r = s/p = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ /4 = $\displaystyle \sqrt{2}$ /2.

Из прямоугольного треугольника OO₁N находим, что

OO₁ = $\displaystyle \sqrt{ON^{2} - O N^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{5 - 1/2}$ = 3/ $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно,

V(OABC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ s^.OO₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ ^.3/ $\displaystyle \sqrt{2}$ = 2.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7837