Информация о задаче

Задача 87366

Тема:

[

Геометрия (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сфера радиуса 3/2 имеет центр в точке N. Из точки K, находящейся на расстоянии 3 $\sqrt{5}$ /2 от центра сферы, проведены две прямые KL и KM, касающиеся сферы в точках L и M соответственно. Найдите объем пирамиды KLMN, если известно, что ML = 2.

Решение

Из прямоугольного треугольника KLN находим, что

KL = $\displaystyle \sqrt{KN^{2} - LN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{45/4 - 9/}$ 4 = 3.

Поэтому KM = KL = 3. В равнобедренных треугольниках LNM и LKM медианы NP и KP являются высотами, поэтому

NP² = $\displaystyle \sqrt{NL^{2} - LP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9/4 - 1}$ = $\displaystyle \sqrt{5}$ /2,

KP² = $\displaystyle \sqrt{KL^{2} - LP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9 - 1}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ /2,

Значит, S(LNM) = ${\frac{1}{2}}$ LM^.NP = ${\frac{1}{2}}$ 2^. $\sqrt{5}$ /2 = $\sqrt{5}$ /2.

Пусть KH - высота пирамиды KLMN. Поскольку KL = KM, точка H равноудалена от точек L и M. Значит, точка H лежит на прямой NP, причем KH - высота треугольника KNP. Обозначим PH = x. По теореме Пифагора

KN² - NH² = KP² - PH²,или45/4 - ( $\displaystyle \sqrt{5}$ /2 + x)² = 8 - x²,

откуда x = 2/ $\sqrt{5}$ . Поэтому

KH = $\displaystyle \sqrt{KP^{2} - PH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{8 - 4/5}$ = 6/ $\displaystyle \sqrt{5}$ .

Следовательно,

V(KLMN) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(LNM)^.KH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \sqrt{5}$ /2)^.6/ $\displaystyle \sqrt{5}$ = 1.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7839