Задача 87367

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Построение сечений ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Плоскость проходит через вершину A основания треугольной пирамиды SABC , делит пополам медиану SK треугольника SAB , а медиану SL треугольника SAC пересекает в такой точке D , для которой SD:DL = 1:2 . В каком отношении делит эта плоскость объём пирамиды?

Решение

Пусть P – середина медианы SK треугольника SAB , M – точка пересечения прямых AP и SB , N – точка пересечения прямых AD и SC (рис.1). Рассмотрим плоскость треугольника SAB (рис.2). Через точку S проведём прямую, параллельную AB . Пусть T – точка пересечения этой прямой с продолжением отрезка AM . Из равенства треугольников SPT и KPA находим, что ST = AK = AB . Из подобия треугольников SMT и BMA следует, что

= = · = .
Поэтому = . Рассмотрим плоскость треугольника SAC (рис.3). Через точку S проведём прямую, параллельную AC . Пусть Q – точка пересечения этой прямой с продолжением отрезка AN . Из подобия треугольников SDQ и LDA находим, что SQ = AL = AC . Из подобия треугольников SNQ и CNA следует, что
= = · = .
Поэтому = . Значит,
= · · = · · = .
Следовательно, секущая плоскость делит объём пирамиды в отношении 1:14 .

Ответ

1:14 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7860