Задача 87369

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Неравенства с объемами ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Найдите наибольшее значение объёма пирамиды SABC при следующих ограничениях

SA 4, SB 7, SC 9, AB = 5, BC 6, AC 8.

Решение

Пусть CK – высота треугольной пирамиды SABC . Тогда CK BC 6 . По теореме косинусов из треугольника SAB находим, что

cos SAB = =

- = - = -.
Поэтому SAB > 90^o . Если V – объём пирамиды SABC , то
V = · AS· AB sin SAB· CK · 4· 5· 6· sin SAB =

= 20 sin SAB = 20 20 = 8.
Пирамида SABC , в которой AS = 4 , AB = 5 , SAB = arccos (-) , BC = 6 и BC – перпендикуляр к плоскости основания SAB , удовлетворяет условию задачи, т.к. в этом случае
SB = 7, AC = = < = 8,

SC = = > = 9,
а объём такой пирамиды равен 8 .

Ответ

8 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7862