ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87370
Темы:    [ Касательные к сферам ]
[ Куб ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Сфера касается рёбер AD , DD1 , CD и прямой BC1 . Найдите радиус сферы, если ребро куба равно 1.

Решение

Центр O сферы равноудалён от боковых рёбер DA , DD1 и DC правильной треугольной пирамиды DACD1 с вершиной D , поэтому точка O лежит на прямой, содержащей высоту этой пирамиды, проходящую через вершину D , т.е. на прямой DB1 . Пусть K – точка пересечения диагоналей квадрата BB1C1C . Так как прямая BC1 перпендикулярна плоскости A1B1CD , то OK BC1 , значит, K – точка касания сферы с прямой BC1 из точки O можно опустить единственный перпендикуляр на прямую BC1 ). Опустим перпендикуляры OM и ON из центра сферы на прямые B1C и DC соответственно. Пусть r – радиус сферы. Тогда OK = ON = r , а из подобия треугольников DNO и DCB1 находим, что

DN = DC· = r· = .

Тогда
OM = CN = DC - DN = 1 - ,


KM = |CK - CM| = |CK - ON| = | - r|,


OM2 + KM2 = OK2, (1 - )2 + ( - r)2 = r2,

откуда r = , а т.к. DN = < 1 , то условию задачи удовлятворяет только r = - .

Ответ

2 - .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7863

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .