Задача 87402

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Площадь сечения ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Найдите боковую поверхность и объём пирамиды, если её диагональное сечение равновелико основанию.

Решение

Пусть SM = h – высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S . По условию задачи

S_{Δ BSD} = S_ABCD, BD· SM = AB2, a· h = a2,
откуда h = a . Следовательно,
V_SABCD = S_ABCD· h = a2· a = .
Пусть K – середина BC . Тогда SK – апофема правильной пирамиды SABCD . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SMK находим, что
SK = = = .
Следовательно,
S_{Δ ASB} + S_{Δ BSC} + S_{Δ CSD} + S_{Δ ASD} = 4S_{Δ BSC} =

= 4· BC· SK = 4· a· = 3a2.

Ответ

3a2 , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7900