Задача 87416

Темы:    [ Боковая поверхность призмы ] [ Площадь и ортогональная проекция ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Расстояние между любыми двумя боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равно a . Боковое ребро равно l и наклонено к плоскости основания под углом 60^o . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение

Площадь S1 боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на её боковое ребро. Плоскость перпендикулярного сечения пересекает боковые грани по их высотам. Поэтому периметр перпендикулярного сечения равен сумме этих высот, т.е. 3a . Значит, S1 = 3al . Пусть S – площадь основания призмы. Площадь ортогональной проекции основания призмы на плоскость, перпендикулярную боковым рёбрам, равна площади перпендикулярного сечения, делённой на косинус угла между плоскостями основания и перпендикулярного сечения. Этот угол равен углу между боковым ребром и высотой призмы, т.е. 30^o . Поэтому

S = = .
Следовательно, площадь полной поверхности призмы равна
S1 + 2S2 = 3al + a2 = a(3l + a).

Ответ

a(3l + a) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7914