Условие
Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью,
проходящей через вершину основания и середины двух боковых рёбер.
Найдите отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания,
если известно, что секущая плоскость перпендикулярна одной из
боковых граней (укажите, какой именно).
Решение
Пусть
ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной
D ;
M и
N – середины боковых рёбер
BD и
CD . Предположим, что плоскость
AMN
перпендикулярна плоскости боковой грани
ABD . Рассмотрим сечение
пирамиды плоскостью
α , проходящей через ребро
AD и середину
K ребра
BC . Прямая
BC перпендикулярна плоскости
α , а прямая
MN параллельна
BC как средняя линия треугольника
BDC . Значит, плоскость
AMN
содержит прямую, перпендикулярную плоскости
α . Следовательно,
плоскость
α перпендикулярна плоскости
AMN , а так как плоскости
α и
ABD пересекаются по прямой
AD и обе эти плоскости перпендикулярны
плоскости
AMN , то прямая
AD перпендикулярна плоскости
AMN , что
невозможно. Аналогично, плоскость
AMN не может быть
перпендикулярной плоскости
ADC .
Таким образом плоскость
AMN перпендикулярна плоскости грани
BDC . Пусть прямые
MN и
DK пересекаются в точке
P . Тогда
P –
середина
DK . Кроме того,
AP 
DK . Значит, треугольник
ADK –
равнобедренный,
AD=AK . Обозначим
AKD = ϕ . Если
Q – центр основания
ABC и
KQ = x , то
AQ = 2x, AD = AK = 3x,
DQ = 
= 
= x
,
tg ϕ = 
= 
= ,
cos ϕ = 
= 
.
Пусть
S1
– площадь боковой поверхности данной пирамиды,
S – площадь
её основания. Тогда
= 
= 
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7919 |
