Информация о задаче

Задача 87423

Тема:

[

Перпендикуляр и наклонная

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом 120^o и сторонами, равными 3 и 4. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

Пусть d₁ и d₂ - соответственно большая и меньшая диагонали параллелограмма со сторонами, равными 3 и 4, и углом 120^o между ними. Тогда

d₁ = $\displaystyle \sqrt{9 + 16 - 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 120^{\circ }}$ = $\displaystyle \sqrt{25 + 12}$ = $\displaystyle \sqrt{37}$ ,

d₂ = $\displaystyle \sqrt{9 + 16 - 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }}$ = $\displaystyle \sqrt{25 - 12}$ = $\displaystyle \sqrt{13}$ .

Пусть h - высота параллелепипеда, V - его объем. По условию задачи меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали параллелограмма, т.е. $\sqrt{37}$ , а т.к. меньшая диагональ параллелограмма является ортогональной проекцией меньшей диагонали параллелепипеда на плоскость основания, то

h = $\displaystyle \sqrt{37 - 13}$ = $\displaystyle \sqrt{24}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Следовательно,

V = 3^.4^.sin 120^{o .}2 $\displaystyle \sqrt{6}$ = 6 $\displaystyle \sqrt{3}$ ^.2 $\displaystyle \sqrt{6}$ = 36 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

36 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7921