Условие
Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью,
перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам.
Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно,
что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
Решение
Пусть указанная плоскость проходит через середины
M и
N сторон
AB и
AC основания
ABC правильной треугольниой пирамиды
DABC и
пересекает боковое ребро
AD в точке
P , а медиану
AF
равностороннего треугольника
ABC – в точке
K . Плоскость
треугольника
ADF проходит через перпендикуляр
DO (высоту пирамиды)
к плоскости основания
ABC . Поэтому плоскость
ADF перпендикулярна
плоскости основания пирамиды. Секущая плоскость также
перпендикулярна плоскости основания пирамиды (по условию) и
пересекается с плоскостью
ADF по прямой
PK . Значит, прямая
PK
перпендикулярна плоскости основания пирамиды и
KP || DO . Далее
имеем:
AK = 
AF, AO = 
AF,
= 
= 
,
KP = 
= 
= 3,
MN = BC = 1,
а т.к.
KP – высота треугольника
MPN , то
SΔ MPN = MN· KP =
· 1· 3 = 
.
Ответ
1
.5
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7957 |
