Условие
Ребро правильного тетраэдра равно
4
. Найдите радиус шара,
касающего боковых граней тетраэдра в точках, лежащих на сторонах
основания.
Решение
Пусть сфера с центром
O касается плоскостей граней
ABD ,
BCD и
ACD данного правильного тетраэдра
ABCD соответственно в точках
N ,
M
и
K , лежащих на сторонах
AB ,
BC и
AC основания
ABC . Тогда сечение
сферы плоскостью основания
ABC есть окружность, вписанная в
равносторонний треугольник
ABC . Поэтому точки
N ,
M и
K – середины
сторон основания тетраэдра
ABCD .
Радиусы
ON ,
OM и
OK сферы перпендикулярны плоскостям граней
ABD ,
BCD и
ACD соответственно и проходят через середины отрезков
AB ,
BC и
AC . Значит, точка
O равноудалена от точек
A ,
B и
C .
Поэтому точка
O лежит на прямой
DQ , где
Q – центр правильного
треугольника
ABC .
Обозначим
MDO = ϕ ,
AB = AD = a . Тогда
DM = AM = 
, QM = 
AM = 
,
sin ϕ = 
= 
= ,
cos ϕ = 
= 
,
tg ϕ = 
= 
.
Следовательно,
OM = DM tg MDO = · tg ϕ =
· = 
= 4· 
= 3.
Ответ
3.00
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7961 |
