Задача 87451

Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1 . Точка M – середина ребра AB , K – середина ребра CD . Найдите радиус сферы, проходящей через точки M , K , A1 , C1 , если ребро куба равно .

Решение

Обозначим через a ребро куба. Центр O сферы, проходящей через точки M , K , A1 и C1 , равноудален от точек A1 и C1 , поэтому точка O лежит в плоскости α , перпендикулярной отрезку A1C1 и проходящей через его середину, т.е. в поскости BDD1B1 . Точка O равноудалена от точек M и K , поэтому она лежит в плоскости β , перпендикулярной отрезку MK и проходящей через его середину. Плоскости α и β пересекаются по прямой PQ , где P и Q – центры квадратов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Обозначим OQ = x , OM = OK = OA1 = OC1 = R . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников OPM и OQA1 находим, что

R2 = OA21 = OQ2 + QA21 = x2 + ()2 = x2 + ,

R2 = OM2 = OP2 + PM2 = (a - x)2 + ()2 = (a - x)2 + .
Из уравнения
x2 + = (a - x)2 +
находим, что x = a . Следовательно,
R2 = = = .
Если a = , то
R = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7963