Задача 87452

Темы:    [ Объем круглых тел ] [ Тела вращения ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Ромб, меньшая диагональ которого равна его стороне, равной 1, вращается около прямой, проходящей через конец большей диагонали перпендикулярно этой диагонали. Найдите объём полученного тела вращения.

Решение

Пусть прямая l проходит через вершину D ромба ABCD перпендикулярно большей диагонали BD . Продолжим BA и BC ромба до пересечения с прямой l в точках P и Q соответственно. Пусть M и N – основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек A и C на прямую l . Поскольку меньшая диагональ ромба равна его стороне, ромб разбивается меньшей диагональю на два равносторонних треугольника со стороной 1. При этом AM и CN – высоты равносторонних треугольников APD и CQD . Пусть V1 – объём тела, полученного вращением равностороннего треугольника PBQ относительно прямой l . Тогда V1 равно удвоенному объёму конуса с высотой DP и радиусом основания DB , т.е.

V1 = 2· π · BD2· DP = 2· π · ()2· 1 = 2π.
Пусть V2 – объём каждого из четырёх равных конусов, полученных вращением относительно прямой l прямоугольных треугольников APM , ADM , CQN и CDN . Тогда
V2 = π · AM2· PM = π · ()2· = .
Если V – объём искомого тела вращения, то
V = V1 - 4V2 = 2π - = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7964