Информация о задаче

Задача 87465

Темы:	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
Темы:	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольной пирамиде ABCD известно, что AB = 8, CD = 12, расстояние между прямыми AB и CD равно 6, а объем пирамиды равен 48. Найдите угол между прямыми AB и CD.

Решение

Достроим пирамиду ABCD до параллелепипеда, проведя через противоположные ребра три пары параллельных плоскостей. Тогда объем пирамиды составляет третью часть объема параллелепипеда. В качестве плоскостей осснований параллелепипеда возьмем параллельные плоскости, проведенный через прямые AB и CD. Тогда высота параллелепипеда равна расстоянию между этими прямыми, площадь основания равна площади параллелограмма, диагонали которого равны отрезкам AB и CD, а угол $\varphi$ между диагоналями равен углу между этими прямыми. Пусть V - объем пирамиды, d - расстояние между прямыми AB и CD. Тогда

V = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CD^.sin $\displaystyle \varphi$ ^.d = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ 8^.12^.sin $\displaystyle \varphi$ ^.6 = 96^.sin $\displaystyle \varphi$ = 48,

откуда sin $\varphi$ = 1/2. Следовательно, $\varphi$ = 30^o.

Ответ

30^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7977