Задача 87482

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точка K расположена на ребре AD тетраэдра ABCD , точка N – на продолжении ребра AB за точку B , а точка M – на продолжении ребра AC за точку C , причём AK:KD = 3:1 , BN = AB и CM:AC = 1:3 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , M , N . В каком отношении эта плоскость делитобъём тетраэдра?

Решение

Пусть прямые CD и KM пересекаются в точке P , а прямые BD и KN – в точке Q . Рассмотрим плоскость грани ACD . Через точку D проведём прямую, параллельную AC . Пусть T – точка пересечения этой прямой с продолжением KM . Из подобия треугольников DKT и AKM находим, что

DT = AM· = AM = · AC = AC.
Из подобия треугольников DPT и CPM следует, что
= = = ,
значит, = . Рассмотрим плоскость грани ABD . Через точку D проведём прямую, параллельную AB . Пусть F – точка пересечения этой прямой с продолжением KN . Из подобия треугольников DKF и AKN находим, что
DF = AN· = AN = · 2AB = AB.
Из подобия треугольников DQF и BQN следует, что
= = · = ,
значит, = . Поэтому
= · · = · · = .
Пусть V1 и V2 – объёмы многогранников, на которые плоскость MNK разбивает пирамиду ABCD . Тогда = .

Ответ

2:33 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8075