Задача 87494

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD . Точка K – середина ребра CP , точка M расположена на ребре AB , причём AM:MB = 1:2 . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K и M параллельно прямой BD . В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Решение

Плоскость основания ABCD проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой l , проходящей через точку M параллельно BD . Пусть L – точка пересечения прямой l со стороной AD параллелограмма ABCD . Тогда = = . Пусть F и E – точки пересечения прямой l с продолжениями BC и CD соответственно. Обозначим BC = AD = a . Из подобия треугольников BMF и AML находим, что

BF = AL· = a· 2 = a, CF = BC + BF = a + a = a.
Плоскости граней BPC и APD проходят через параллельные прямые BC и AD и имеют общую точку P . Значит, они пересекаются по некоторой прямой m , параллельной прямым BC и AD . Рассмотрим плоскость грани BPC . Пусть прямая FK пересекает ребро PB в точке N , а прямую m – в точке T . Из равенства треугольиков PKT и CKF находим, что
PT = CF = a,
а из подобия треугольников PNT и BNF следует, что
= = = .
Если Q – точка пересечения прямой EK с ребром DP , то аналогично докажем, что = . Пусть h – высота данной пирамиды, S – площадь её основания, V – объём. Тогда высота треугольной пирамиды KCFE с вершиной M равна h , а высоты треугольных пирамид NBFM и QDEL с вершинами N и Q равны h . Далее имеем:
S_{Δ AML} = S_{Δ ABD} = · S = S,

S_{Δ DEL} = S_{Δ BFM} = 4S_{Δ AML} = S,

S_{Δ CFE} = S_ABCD - S_{Δ AML} + 2S_{Δ BFM} = S - S8 + S = S.
Значит,
V_KCFE = S_{Δ CFE}· h = · S· h = · Sh = V,

V_NBFM = S_{Δ BFM}· h = · S· h = · Sh = V,

V_CBMLDQKN = V_KCFE - 2V_NBFM = V - V = V.
Следовательно, секущая плоскость делит объём данной пирамиды в отношении 109:143 .

Ответ

109:143 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8087