Условие
Через стороны равностороннего треугольника проведены три
плоскости, образующие угол
α с плоскостью этого
треугольника и пересекающиеся в точке, удалённой на расстояние
d от плоскости треугольника. Найдите радиус окружности,
вписанной в данный равносторонний треугольник.
Решение
Пусть плоскости, проходящие через стороны
AB ,
BC и
AC
равностороннего треугольника
ABC со стороной
a ,
пересекаются в точке
D и образуют с плоскостью
ABC углы
α .
Пусть
O – ортогональная проекция точки
D на плоскость
ABC .
Опустим перпендикуляры
OK ,
OL и
OM из точки
O на прямые
AB ,
BC и
AC соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах
DK 
AB ,
DL BC и
DM AC . Значит,
DKO ,
DLO и
DMO – линейные углы
двугранных углов, образованных данными плоскостями с плоскостью
ABC . По условию задачи
DKO = DLO = DMO = α .
Из равенства прямоугольных треугольников
DKO ,
DLO и
DMO (по катету и
противолежащему острому углу) следует равенство отрезков
OK ,
OL и
OM .
Поэтому точка
O равноудалена от прямых
AB ,
BC и
AC . Значит,
O –
центр вписанной или вневписанной окружности треугольника
ABC .
Пусть
O – центр вписанной окружности равностороннего
треугольника
ABC ,
r – радиус окружности. Тогда
r = OK = DO ctg DKO = d ctg α.
Пусть
O – центр вневписанной окружности треугольника
ABC ,
касающейся стороны
AB ,
P – точка касания этой окружности с
продолжением стороны
AC за точку
A ,
M – центр вписанной окружности
треугольника
ABC . Тогда
OC = 
= 
=
=
= 
= a
,
CK = 
= 
OC = OK,
r = MK = 
CK = · OC =
OK = DO ctg DKO = d ctg α.
Ответ
d ctg α или
d ctg α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
8200 |
