Задача 87602

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

Решение

Пусть O – основание высоты DO пирамиды ABCD . Тогда треугольники AOB , AOC и BOC – ортогональные проекции треугольников соответственно ADB , ADC и BDC на плоскость ABC . Если основание O высоты DO лежит внутри треугольника ABC (рис.1), то углы α1 , α2 и α3 – острые, поэтому

S_{Δ AOB} = S_{Δ ADB} cos α1 = S1 cos α1,

S_{Δ AOC} = S_{Δ ADC} cos α2 = S2 cos α2,

S_{Δ BOC} = S_{Δ BDC} cos α3 = S3 cos α3.
Следовательно,
S = S_{Δ AOB} + S_{Δ AOC} + S_{Δ BOC} = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3.
Если основание O высоты DO лежит вне треугольника ABC (рис.2), то два из углов α1 , α2 и α3 – тупые. Тогда, например, в случае, когда α2 > 90^o и α3 > 90^o , получим, что
S = S_{Δ AOB} - S_{Δ AOC} - S_{Δ BOC} =

= S1 cos α1 - S2 cos (180^o - α2) - S3 cos (180^o - α3) =

= S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3.
Аналогично для остальных случаев.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8205