Задача 87639

Тема:    [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В пространстве взяты точки A , B , C и D , для которых AD = BD = CD , ADB = 90^o , ADC = 50^o , BDC = 140^o . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Предположим, что точки A , B , C и D не лежат в одной плоскости. Тогда плоские углы трёхгранного угла ABCD с вершиной D равны 90^o , 50^o и 140^o , что невозможно, т.к. 90^o + 50^o = 140^o , а сумма двух любых плоских углов трёхгранного угла больше третьего. Следовательно, точки A , B , C и D лежат в одной плоскости, причём луч DA лежит между лучами DB и DC . Поскольку AD = BD = CD , точки A , B и C лежат на окружности с центром D . Поэтому углы треугольника ABC – вписанные углы этой окружности. Следовательно,

ABC = ADC = · 50^o = 25^o,

ACB = ADB = · 90^o = 45^o,

BAC = 180^o - 25^o - 45^o = 110^o.

Ответ

25^o , 45^o , 110^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8242