|
|
 |
Условие
В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки – деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трёх заготовок, можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Сколько всего деталей можно сделать из девяти заготовок? А из четырнадцати? Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?
Решение
Из девяти заготовок можно на первом этапе получить девять деталей, а из оставшихся стружек сделать три заготовки, из них (на втором этапе) –
три детали, а из оставшихся стружек сделать одну заготовку и затем одну деталь. Итого 13 деталей.
С 14 заготовками проще поступить так. Отложим временно две заготовки и сначала получим 12 деталей и стружки на четыре заготовки. Добавив к этим четырём заготовкам две отложенные, получим ещё шесть деталей и стружки на две заготовки. Наконец сделаем ещё две детали. Итого 20 деталей.
Если 20 деталей мы получили из 14 заготовок, то 40 деталей мы заведомо можем получить из 28 заготовок.
Попробуем уменьшить это число. Возьмём 27 заготовок. Сначала мы получим 27 деталей и стружки на девять заготовок. Из этих девяти заготовок, как мы видели выше, можно получить 13 деталей. Итого, 40 деталей.
26 заготовок, как нетрудно проверить, недостаточно.
Ответ
13 деталей; 20 деталей; 27 заготовок.Замечания
Всякий раз, когда мы из трёх заготовок вытачиваем три детали, а из стружек выплавляем одну новую заготовку, у нас число заготовок уменьшается на 2, а число деталей увеличивается на 3, то есть две заготовки как бы превращаются в три детали. Такое превращение возможно до тех пор, пока не останется только одна или две заготовки. Значит, если заготовок чётное число, то мы все их, кроме двух последних, постепенно превратим в детали. А из последних двух выточим ещё две детали. Итак, из 2n + 2 заготовок выйдет 3n + 2 детали. Если же число заготовок нечётно (2n + 1), то аналогично получим из них 3n + 1 деталь. Отсюда, между прочим, следует, что, сколько бы мы ни взяли заготовок, максимальное число полученных из них деталей не может быть кратно 3.
