Информация о задаче

Задача 87977

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]

Сложность: 3
Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Можно ли в квадрат со стороной 1 поместить несколько непересекающихся квадратов, сумма сторон которых равна 1992?

Подсказка

Попробуйте разделить квадрат на четыре или девять маленьких квадратиков и посмотрите, какова будет сумма периметров этих квадратиков.

Решение

Разместим внутри нашего квадрата маленькие квадратики, как показано на рисунке. Попробуем найти количество таких квадратиков и длину стороны каждого, чтобы общая сумма их периметров была равна 1992.

Обозначим число маленьких квадратиков вдоль стороны через N, а длину сторон маленьких квадратиков через A. Сумма периметров этих квадратиков будет равна 4N²A, а нам надо, чтобы эта сумма была равна 1992, т.е. 4N²A = 1992. Поскольку вдоль большого квадрата размещается N квадратиков со стороной A, то NA $\approx$ 1 и NA < 1. Значит, 4N > 1992 и 4N $\approx$ 1992, т.е. N $\approx$ 498. Взяв N = 500, A = 0, 001992, получим набор квадратиков, сумма периметров которых будет равна 0, 001992 $\Times$ 4 $\Times$ 500 $\Times$ 500 = 1992, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Козлова Е.Г.
Название	Сказки и подсказки
задача
Номер	45