Задача 88118

Тема:    [ Турниры и турнирные таблицы ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

В турнире участвовали пять шахматистов. Известно, что каждый сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное количество очков; занявший первое место не сделал ни одной ничьей; занявший второе место не проиграл ни одной партии; занявший четвёртое место не выиграл ни одной партии. Определите результаты всех партий турнира.

Подсказка

Как сыграли между собой первый и второй игроки (то есть игроки, занявшие первое и второе места)? Как сыграли между собой первый и четвёртый игроки? Может ли второй игрок набрать больше чем 2,5 очка? Может ли второй игрок набрать меньше чем 2,5 очка? Как закончились все игры первого и второго игроков? Может ли третий игрок набрать больше 2 очков? Может ли третий игрок набрать меньше 2 очков? Сколько очков набрал четвёртый игрок? Сколько очков набрал пятый игрок?

Решение

  Для удобства перечислим все условия:
    а) каждый игрок сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное количество очков;
    б) занявший первое место не сделал ни одной ничьей;
    в) занявший второе место не проиграл ни одной партии;
    г) занявший четвёртое место не выиграл ни одной партии.
  Из условий б) и в) следует, что партия между первым и вторым игроками закончилась победой второго. А из условий б) и г) следует, что партия между первым и четвёртым закончилась победой первого. Можно заполнить часть турнирной таблицы.

  Из этой таблицы видно, что первый игрок не мог набрать больше 3 очков. Значит, второй игрок не мог набрать больше чем 2,5 очка. Но он не может набрать и меньше чем 2,5 очка, поскольку за каждую из партий с третьим, четвёртым и пятым игроками он получил не менее 0,5 очка. Всё это возможно только в случае, когда эти три игры закончились с ничейным результатом.
  Итак, второй игрок набрал 2,5 очка. Следовательно, первый набрал 3 очка, то есть выиграл все партии, кроме партии со вторым игроком. Заполним ещё часть таблицы.

  Третий игрок не мог набрать больше 2 очков, но он не мог набрать и меньше 2 очков: всего было набрано  5·4 : 2 = 10  очков (см. решение задачи 30347), первые два игрока набрали 5,5 очка, значит, оставшиеся три игрока в сумме набрали 4,5 очка, а это больше, чем  1,5 + 1 + 0,5.  Следовательно, третий игрок набрал 2 очка, а на долю четвёртого и пятого остаётся 2,5 очка. Это возможно только в том случае, когда четвёртый набрал 1,5 очка, а пятый – 1 очко.
  Третий игрок набрал в играх четвёртым и пятым 1,5 очка, значит, в одной из этих игр он набрал 1 очко, а в другой – 0,5. Пятый игрок в играх с третьим и четвёртым набрал 0,5 очка. Но по условию г) четвёртому он не проиграл, значит проиграл третьему.
  Теперь можно составить окончательную таблицу.

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Козлова Е.Г.
Название	Сказки и подсказки
задача
Номер	186