Задача 88241

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Условие

Может ли сумма трёх различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

Подсказка

Сумма любых двуx из этих чисел делится на третье.

Решение

Например, числа 1, 2, 3.

Ответ

Может.

Замечания

Идеология. Пусть  A > B > C.  Из условия следует, что сумма любых двух из этих чисел делится на третье, то есть  A + B = cC,  A + C = bB,  B + C = aA  (a, b, c – натуральные числа). Очевидно  B + C < 2A,  то есть  a = 1.  Значит,  A = B + C.  Сделаем замену переменных:  2B + C = cC,  B + 2C = bB.  Последнее равенство может выполняться только при  b = 2,  так как  B + 2C < 3B  и  C > 0.  Значит,  B = 2C,  A = 3C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Козлова Е.Г.
Название	Сказки и подсказки
задача
Номер	309