|
|
 |
Условие
В небольшом шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 1000 школьников. У каждого из них был шкаф для одежды – всего 1000 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами о 1 до 1000. А ещё в этой школе жили привидения – ровно 1000 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала первое привидение открыло все шкафы; потом второе привидение закрыло те шкафы, номер которых делился на 2; затем третье привидение поменяло позиции (то есть открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло – если он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним четвёртое привидение поменяло позиции тех шкафов, номер которых делился на 4 и т.д. Как только тысячное привидение поменяло позицию тысячного шкафа, пропел петух, и все привидения срочно убрались восвояси. Не скажете ли вы, сколько осталось открытых шкафов после посещения привидений?
Решение
Если номер шкафа C не является точным квадратом, то он имеет чётное число делителей (см. задачу 30365). Такой шкаф поменяет позиции чётное число раз и в итоге окажется закрытым. Если же номер шкафа C является точным квадратом, то число его различных делителей будет нечётно, и шкаф в итоге окажется открытым. Количество точных квадратов среди первой тысячи чисел – 31. Значит, и открытых шкафов будет 31.
Ответ
31 шкаф.
