Задача 88295

Тема:    [ Классические неравенства ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Условие

Укажите какое-нибудь целое положительное n, при котором
  а)  1,001ⁿ > 10;
  б)  0,999ⁿ < 0,1.

Решение

  а) Согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899)  (1 + ¹/₁₀₀₀)¹⁰⁰⁰⁰ > 1 + 10000·¹/₁₀₀₀ > 10.

  б)  (1 – ¹/₁₀₀₀)(1 + ¹/₁₀₀₀) < 1,  cледовательно,   (1 – ¹/₁₀₀₀)¹⁰⁰⁰⁰ < (1 + ¹/₁₀₀₀)^–10000 < ¹/10_.

Ответ

Например,  n = 10000.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	4
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	4.5