|
|
 |
Условие
В одной вершине куба написано число 1, а в остальных – нули. Можно прибавлять по единице к числам в концах любого ребра.
Можно ли добиться, чтобы все числа делились а) на 2; б) на 3?
Решение
а) Вначале сумма чисел, стоявших в вершинах куба, равна единице, то есть нечётна. Каждый раз мы к двум вершинам добавляем по единице, так что сумма остаётся нечётной. Поэтому числа во всех вершинах не могут стать чётными.
б) Раскрасим вершины в шахматном порядке. После этого заметим, что сумма чисел в белых вершинах отличается от суммы чисел в чёрных на единицу: каждый раз добавляется по 1 и к белой вершине, и к чёрной. Два числа, отличающиеся на 1, не делятся одновременно на 3, а если бы все числа в белых (чёрных) вершинах делились на 3, то и их суммы делились бы на 3.
Ответ
а), б) Нельзя.
Источники и прецеденты использования
| кружок | |
| Место проведения | МЦНМО |
| класс | |
| Класс | 7 |
| год | |
| Год | 2004/2005 |
| занятие | |
| Номер | 10 |
| Название | Инварианты |
| Тема | Инварианты |
| задача | |
| Номер | 10.4 |
