Задача 88311

Темы:    [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых лежит по селёдке. Разрешается за один ход передвинуть любые две селёдки в соседних секторах, двигая их в разные стороны. Можно ли с помощью этой операции собрать все селёдки в одном секторе?

Решение

Закрасим сектора через один в два цвета. например, белый и чёрный; будем считать, что селёдки имеют цвет своего сектора. Вначале имеется три чёрных и три белых селёдки. При выполнении указанной операции две селёдки разных цветов меняют свой цвет: белая становится чёрной, а чёрная – белой, но по-прежнему имеется три чёрных и три белых селёдки. Следовательно, нельзя получить шесть селёдок одного цвета и тем более нельзя их собрать в одном секторе.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	10
Название	Инварианты
Тема	Инварианты
задача
Номер	10.7