|
|
 |
Условие
В четырёхугольнике длины всех сторон и диагоналей меньше 1 м. Доказать, что его можно поместить в круг радиуса 0,9 м.
Решение 1
Пусть d – наибольшее расстояние между вершинами четырёхугольника. Тогда весь четырёхугольник лежит в пересечении кругов радиуса d с центрами в соответствующих вершинах (пусть A и B). Эта фигура, в свою очередь, помещается в круг радиуса с центром в середине отрезка AB.
Решение 2
Проекция такого четырёхугольника на любую прямую – отрезок длины, меньшей 1. Значит, его можно заключить в квадрат со стороной 1. Описанная окружность этого квадрата имеет радиус, меньший 0,75.
Замечания
1. На самом деле любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник, вписанный в круг радиуса Но доказать это гораздо сложнее. См. И.М. Яглом, В.Г. Болтянский. "Выпуклые фигуры". 1951. Зад. 31.
2. 5 баллов.
