|
|
 |
Условие
Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.
Решение
У нас нет чёткого определения линии, поэтому будем требовать от неё – в разумных пределах – нужных нам свойств.
Линия разбивает плоскость на несколько областей. Ниже мы докажем, что полученная картинка допускает шахматную раскраску (соседние области окрашены в разные цвета).
Будем рыть туннель под пересекающей линией, если при подъезде поезда к точке пересечения чёрная область остается слева, и над – если справа. Это, очевидно, возможно и удовлетворяет условию.
Докажем утверждение о шахматной раскраске.
Можно считать, что линия не содержит вертикальных отрезков. Из каждой области выпустим (вверх) вертикальный луч. Назовём область чётной, если этот луч пересекает линию в чётном числе точек (точки самопересечения и точки касания с лучом считаются за две), и нечётной – в противном случае.
Покажем, что результат не зависит от выбора точки внутри области. При движении начала луча внутри данной области по вертикали это очевидно. Если же двигать начало по горизонтали, то число точек его пересечений с линией меняется, когда луч переходит через точку самопересечения или точку касания (возможно, сразу через несколько таких точек). Но при таком переходе число точек пересечения луча с линией меняется на чётное число (за счёт каждой точки самопересечения или касания – на 0 или на 2).
Заметим, что соседние области – разной чётности. Действительно, из одной можно перейти в другую, двигаясь по вертикали; при этом число точек пересечения луча с линией изменится на 1. Оставим чётные области белыми. а нечётные окрасим в чёрный цвет.
Замечания
Другое решение см. Г. Радемахер, О. Теплиц. "Числа и фигуры", гл. 11. Оно занимает 4 страницы.
