|
|
 |
Условие
Через P(x) обозначается произведение всех цифр натурального числа x, через S(x) – сумма цифр числа x.
Сколько решений имеет уравнение:
P(P(x)) + P(S(x)) + S(P(x)) + S(S(x)) = 1984 ?
Решение
Пусть x – натуральное число с суммой цифр содержащее в своей записи несколько нулей. Тогда P(x) = 0, следовательно, P(P(x)) = S(P(x))) = 0. Кроме того, P(S(x)) = 0, а S(S(x)) = 1984. Отсюда следует, что уравнение имеет бесконечно много решений.
Ответ
Бесконечно много решений.
Замечания
1. Условие задачи можно истолковать и так: функции P и S определены только для натуральных чисел, поэтому примеры с P(x) = 0 не удовлетворяют условию: (для них P(P(x)) и S(P(x)) неопределены). Это не сильно мешает. Действительно, пусть n – натуральное число, состоящее из 1982 единиц и произвольного числа нулей, а Тогда
S(x) = n, P(x) = 1, S(P(x)) = P(P(x)) = 1, P(S(x)) = P(n) = 0, S(S(x)) = S(n) = 1982.
2. 4 балла.
