|
|
 |
Условие
Рассматриваются 4(N – 1) граничных клеток таблицы размером N×N. Нужно вписать в эти клетки последовательные 4(N – 1) целых чисел так, чтобы сумма чисел в вершинах любого прямоугольника со сторонами, параллельными диагоналям таблицы, в том числе и в "вырожденных" прямоугольниках – диагоналях, равнялась одному и тому же числу (для прямоугольников суммируются четыре числа, для диагоналей – два числа). Возможно ли это? Рассмотрите случаи:
а) N = 3;
б) N = 4;
в) N = 5.
Решение
а), в) На рисунках 1а, 1б приведены соответствующие расстановки.
б) Мы имеем ровно четыре прямоугольника: две диагонали и два "настоящих" прямоугольника; следовательно, сумма всех 12 расставленных чисел делится на 4. Предположим, что мы расставили числа от N – 5 до N + 6. Их сумма 12N + 6 не делится на 4. Противоречие.
Ответ
а), в) Возможно; б) невозможно.
Замечания
1. Если слово "целые" заменить на "натуральные", то ответ в п. в) отрицателен: имеется 5 прямоугольников, а сумма даже двух наибольших чисел меньше ⅕ суммы всех чисел.
2. В задаче М886 из Задачника "Кванта" добавлен еще случай N = 1985.
3. Баллы: 2 + 3 + 4.
