Задача 97841

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Решить в целых числах уравнение  2ⁿ + 7 = x².

Решение

  (x – 3)(x + 3) = x² – 9 = 2ⁿ – 2 = 2·(2^n–1 – 1).
  n = 0  не подходит, а при  n > 0  правая часть чётна, значит, оба множителя в левой части чётны. Но тогда и  2^n–1 – 1  чётно, то есть равно 0. Отсюда
n = 1,  x = ±3.

Ответ

n = 1,  x = ±3.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1984/1985
Номер	6
вариант
Вариант	осенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	3