Задача 97884

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Анджанс А.

Последовательность чисел  x₁, x₂, ...  такова, что  x₁ = ½  и     для всякого натурального k.

Найдите целую часть суммы  

Решение

Заметим, что   = ,  то есть   = .   Отсюда
= = = 2 – .   Последовательность возрастает, поэтому  x₁₀₁ > x₃ > 1,  следовательно, целая часть искомой суммы равна 1.

Ответ

1.

Замечания

7-8 кл. – 10 баллов, 9-10 кл. – 7 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1986
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М972
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер	6