|
|
 |
Условие
Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что
1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и
2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).
Докажите, что
а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей;
б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.
Решение
а) Рассмотрим поле X1, центрально-симметричное полю X. Фигура F, стоящая на X1, бьёт все поля, центрально-симметричные полям, с которых она бьёт поле X (). А таких полей не больше 20.
б) Будем ставить фигуры по очереди на произвольные "допустимые" поля. Пусть n фигур уже расставлены. Они занимают n полей, бьют не более 20n полей и могут быть побиты (n+1)-й фигурой не более, чем с 20n полей. Поскольку 41n < 41·19 < 900, для (n+1)-й фигуры еще остались "допустимые" поля.
Замечания
1. Баллы: 3 + 5.
2. См. также задачу М975 из Задачника "Кванта".
