|
|
 |
Условие
а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.
б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.
Решение 1
Докажем более общее утверждение (верное в пространстве любой размерности).
Пусть точка O принадлежит выпуклой оболочке точек A1, ..., An, не совпадая ни с одной из них. Тогда среди углов AiOAj не менее n – 1 не острых.
(Нулевой угол мы также считаем "не острым". Это не страшно, поскольку в условиях задачи такие углы не возникают.)
Доказательство. Рассмотрим векторы ai = . Найдутся такие неотрицательные числа αi, не все равные нулю, что α1a1 + ... + αnan = 0. Это следует, например, из того, что O – центр масс точек Ai при некотором распределении масс.
Пусть количество не острых углов меньше n – 1. Соединим пары точек, на которые опираются эти углы. Полученный граф несвязен (в связном графе с n вершинами не менее n – 1 ребра). Отметим, что для вершин Ai, Aj, принадлежащих разным компонентам (ai, aj) > 0 (угол AiOAj – острый).
Рассмотрим ту из компонент связности, которая содержит вершину с ненулевым коэффициентом. С точностью до смены нумерации можно считать, что её вершины – A1, ..., Am.
(α1a1 + ... + αmam, an) = α1(a1, an) + ... + αm(am, an) > 0 ⇒ α1a1 + ... + αmam ≠ 0 ⇒
0 > – |α1a1 + ... + αmam|2 = (α1a1 + ... + αmam, αm+1am+1 + ... + αnan) ≥ 0
(после раскрытия скобок в правой части все слагаемые неотрицательны). Противоречие.
Решение 2
а) Разобьём многоугольник диагоналями, выходящими из одной вершины, на треугольники. O лежит в одном из них (пусть ABC). Тогда среди углов AOB, BOC, COA (их сумма равна 360°) два не острых. Для любой другой вершины D один из углов DOB, DOC, DOA не острый (иначе A, B, C и D лежат по одну сторону от прямой, проходящей через O, и перпендикулярной к DO, что невозможно).
Замечания
1. Решение 2 – авторское. Аналогично можно доказать и б) – разбиение на тетраэдры сводит задачу к случаю тетраэдра. Но (в отличие от треугольника в а)) чисто геометрическое доказательство этого факта для тетраэдра (наше утверждение для n = 4) достаточно сложно – см. решения Задачника "Кванта".
2. Баллы: 8 + 4.
3. Ср. с задачей М980 из Задачника "Кванта".
