Задача 97903
|
|
 |
Условие
Функция F задана на всей вещественной оси, причём для любого x имеет место равенство: F(x + 1)F(x) + F(x + 1) + 1 = 0.
Докажите, что функция F не может быть непрерывной.
Решение
F(x + 1)(F(x) + 1) = –1, следовательно, F нигде не обращается в нуль. При каждом x либо
а) F(x + 1) > 0, F(x) + 1 < 0, либо
б) F(x + 1) < 0, F(x) + 1 > 0.
Если а) выполнено хотя бы для одного x, функция разрывна: F(x + 1) и F(x) разного знака.
Если б) выполнено на всей оси, то везде –1 < F(x) < 0. Тогда |F(x + 1)| < 1, |F(x) + 1| < 1, и поэтому произведение этих чисел не равно 1. Противоречие.
Замечания
4 балла
