Задача 97905

Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Курляндчик Л.Д.

Дана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел  a₁ ≥ a₂ ≥ a₃ ≥ ... ≥ a_2k+1 ≥ 0.
Докажите неравенство:  

Решение

  Рассмотрим трапецию, ограниченную прямыми  x = a_2k,  x = a_2k–1,  y = 0,  y = 2x  (см. рисунок).

  Её площадь равна  ,  следовательно, выражение в левой части неравенства равно сумме площадей всех трапеций и треугодьника, в который вырождается последняя трапеция. Сдвинув все трапеции влево до упора, мы получим ступенчатую фигуру, содержащую треугольник (ограниченный прямыми  x = a₁ – a₂ + a₃ – a₄ + ... + a_2k+1,  y = 0,  y = 2x),  площадь которого равна выражению в правой части (см. рисунок).

Замечания

1. 8 баллов.

2. Ср. с задачей М1011 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	весенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер	6