Задача 97910
|
|
 |
Условие
Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел 1, 2, 3, ..., n. Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.
Решение
Искомая сумма получится после раскрытия скобок в выражении (1 + 1/1)(1 + ½)(1 + ⅓)...(1 + 1/n) – 1, то есть равна 2/1·3/2·4/3·...·n+1/n – 1 = n + 1 – 1 = n.
Ответ
n.
Замечания
1. Равенство Sn = n можно также доказать по индукции, заметив, что
2. 4 балла.
3. Ср. с задачей М1032 из Задачника "Кванта".
