Задача 97915
|
|
 |
Условие
Существует ли такое N и такие N – 1 бесконечных арифметических прогрессий с разностями 2, 3, 4, ..., N, что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?
Решение
Положим N = 12. Каждое натуральное число можно записать в виде 12k + r, где r – одно из чисел 0, 1, ..., 11. Все числа, для которых r чётно принадлежат прогрессии 2, 4, 6, ...; все числа, для которых r кратно 3, – прогрессии 3, 6, 9, ... Остались числа с r = 1, 5, 7 и 11. Они покрываются прогрессиями 4k + 1, 6k + 7 и 12k + 11 (k = 0, 1, ...) с разностями 4, 6 и 12.
Замечания
1. Другой пример – прогрессии {1, 3, ...}, {2, 5,...}, {4, 8, ...}, {6, 12, ...}, {10, 22, ...}.
2. 3 балла.
