Задача 97918
|
|
 |
Условие
В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира
оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.
Решение
Менее ¼·½·28·27 = 94,5 игр были результативными. Вычтем из всех результатов по очку, то есть будем считать, что за выигрыш дается 1 очко, а за проигрыш – –1. Если команда набрала n очков, то она выиграла (или проиграла, если n < 0) не менее |n| матчей. Пусть nk – число очков, набранных k-й командой. Предположим, что все числа nk различны. Тогда число результативных игр не меньше чем
½ ( |n1| + … + |n28| ) ≥ ½ (0 + 1 + ... + 13 + 1 + ... + 14) = 98. Противоречие.
Замечания
1. Баллы: 7-8 кл. – 6, 9-10 кл. – 5.
2. Ср. с задачей М1047 из Задачника "Кванта".
