Задача 97952

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Фольклор

Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?

Решение

   Нетрудно проверить, что если исходный треугольник разрезан на четыре треугольничка, то сделать все треугольнички белыми можно.
   Докажем, что при большем числе частей этого сделать нельзя. Рассмотрим четыре треугольничка с общей вершиной, составляющих два ромбика (см. рис.).

   Любая прямая, параллельная стороне исходного треугольника, пересекает чётное число из этих четырёх треугольничков. Поэтому, если в начале один из них был закрашен, то всегда будет закрашено нечётное число из этих четырёх треугольничков, то есть все они белыми никогда не станут.

Ответ

Не всегда.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	9
Дата	1987/1988
вариант
Вариант	осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер	6