|
|
 |
Условие
Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.
Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две
противоположные грани и не уткнулась в кирпич.
Решение
Каждую грань 20×20 куба можно проткнуть в 19·19 = 361 точке, а поскольку у куба три пары параллельных граней, всего имеется 361·3 = 1083 "возможных протыканий". Допустим, что куб нельзя проткнуть насквозь, то есть каждое из 1083 возможных протыканий заблокировано гранью 2×2 некоторого кирпича. Докажем, что каждое протыкание заблокировано чётным числом кирпичей. Введём иглу до конца и рассмотрим параллелепипед, закрашенный на рисунке.
В нём чётное (даже кратное 20) число единичных кубиков. С другой стороны, его составляют кирпичи 2×2×1 и "обломки" кирпичей 2×1×1 и 1×1×1. Следовательно, число кирпичей, которые наша игла проткнула (равное числу обломков 1×1×1 в параллелепипеде), чётно. Значит, общее число кирпичей не меньше 2·1083 > 2000. Противоречие.
Замечания
8 баллов
