|
|
 |
Условие
Докажите, что если K чётно, то числа от 1 до K – 1 можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на K.
Решение
Числа можно расставить в таком порядке: K – 1, 2, K – 3, 4, K – 5, 6, ..., 3, K – 2, 1 (на нечётных местах стоят нечётные числа в порядке убывания, на чётных местах – чётные в порядке возрастания). Выпишем остатки от деления на K = 2L суммы первых n чисел (n = 1, 2, ..., K – 1) указанной последовательности: K – 1, 1, K – 2, 2, K – 3, 3, ..., L + 1, L – 1, L. Таким образом, среди этих остатков rn встречаются по разу все числа от 1 до
K – 1. Поскольку rm ≠ rn при m < n, сумма членов нашей последовательности с номерами от m + 1 до n не делится на K.
Замечания
5 баллов
