Задача 98007

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Назаров Ф.

Положительные числа a, b, c, d таковы, что  a ≤ b ≤ c ≤ d  и  a + b + c + d ≥ 1.  Докажите, что  a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.

Решение

a² + 3b² + 5c² + 7d² = a² + b² + c² + d² + 2(b² + 2c² + 3d²) ≥ a² + b² + c² + d² + 2(ab + (a + b)c + (a + b + c)d) = (a + b + c + d)² ≥ 1.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1988/1989
Номер	10
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	1