Задача 98091
|
|
 |
Условие
Укажите все такие натуральные n и целые неравные друг другу x и y, при которых верно равенство: x + x² + x4 + ... + x2n = y + y² + y4 + ... + y2n.
Решение
При n = 1 уравнение принимает вид x + x² = y + y² , или (x – y)(x + y + 1) = 0, откуда сразу получаем ответ.При n ≥ 2 уравнение можно переписать следующим образом: (x – y)(1 + (x + y)(1 + x² + y² + ...)) = 0, где в последней скобке все слагаемые неотрицательны. Так как x ≠ y, обе части можно разделить на x – y. Получим: (x + y)(1 + x² + y² + ...) = –1. Вторая скобка должна быть по модулю равна 1, откуда x = y = 0, что противоречит условию.
Ответ
n = 1, x = k, y = – k – 1 для всех целых k.
Замечания
4 балла
