|
|
 |
Условие
В четырёхугольнике ABCD AB = BC = CD = 1, AD не равно 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD. Новое положение точки A получается из старого зеркальным отражением в отрезке BD, новое положение точки D получается из старого зеркальным отражением в отрезке AC (где A уже новое), затем на втором шагу опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем снова преобразуется D, затем аналогично проводится третий шаг, и так далее. Докажите, что на каком-то шагу положение точек совпадает с первоначальным.
Решение
Ломаная ABCD определяется заданием двух углов: ∠BCA = β и ∠CDB = γ; при этом, если обозначить через X и Y точки на продолжениях отрезка BC, то (поскольку треугольники ABC и BCD равнобедренные, см. рисунок) ∠XBA = 2β, a ∠YCD = 2γ. Углы будем считать направленными, скажем, против часовой стрелки.
(β, γ) → (γ – β, γ) → (γ – β, – β) → (– γ, – β) → (– γ, β – γ) → (β, β – γ) → (β, γ) – мы вернулись на место через 6 шагов!
Замечания
7 баллов
